二十世纪数学史

数 学 概 览

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学 。简单地说，就是研究数和形的科学
。由于生活和劳动上的需求 ，即使是最原始的民族
，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国 ，最迟在商代
，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制 。在不晚于公元一世纪的《九章算术》中 ，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法
，还引入了负数概念
。

刘徽在他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分 ，但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。在这本著作中
，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率的一般方法 。

虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念 ，但在实质上
，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺 ，也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦 、埃及
、希腊文化的欧洲地区
，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究
。

早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数 ，即现称的无理数 。16世纪以来
，由于解高次方程又出现了复数
。在近代，数的概念更进一步抽象化 ，并依据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨
，形成数学中的若干不同分支。

开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算 。在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程
。发展至宋元时代 ，引进了“天元”(即未知数)的明确观念
，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法 ，已接近于近世的代数学 。

在中国以外
，九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖 ，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格
。中国古代数学致力于方程的具体求解
，而源于古希腊 、埃及传统的欧洲数学则不同，一般致力于探究方程解的性质。

16世纪时 ，韦达以文字代替方程系数
，引入了代数的符号演算 。对代数方程解的性质进行探讨，是从线性方程组引出的行列式
、矩阵、线性空间 、线性变换等概念与理论的出现；从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗华理论与群论的创立
。而近代极为活跃的代数几何 ，则无非是高次联立代数方程组解所构成的集合的理论研究。

形的研究属于几何学的范畴 。古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示
，而图形之所以成为数学对象是由于工具的制作与测量的要求所促成的。规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规
、矩、准 、绳等测量工具
。

墨经》中对一系列的几何概念 ，有抽象概括
，作出了科学的定义。《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式 。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外 ，还提出了若干一般原理以解决多种问题
。例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体的体积的阳马鳖需的二比一原理(刘徽原理)；5世纪祖(日恒)提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异 ”的原理；还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)。但自五代(约10世纪)以后
，中国在几何学方面的建树不多 。

中国几何学以测量和计算面积
、体积的量度为中心任务，而古希腊的传统则是重视形的性质与各种性质间的相互关系
。欧几里得的《几何原本》 ，建立了用定义、公理 、定理
、证明构成的演绎体系
，成为近代数学公理化的楷模，影响遍及于整个数学的发展。特别是平行公理的研究 ，导致了19世纪非欧几何的产生 。

欧洲自文艺复兴时期起通过对绘画的透视关系的研究
，出现了射影几何
。18世纪，蒙日应用分析方法对形进行研究 ，开微分几何学的先河。高斯的曲面论与黎曼的流形理论开创了脱离周围空间以形作为独立对象的研究方法；19世纪克莱因以群的观点对几何学进行统一处理 。此外，如康托尔的点集理论
，扩大了形的范围；庞加莱创立了拓扑学，使形的连续性成为几何研究的对象
。这些都使几何学面目一新。

在现实世界中 ，数与形
，如影之随形，难以分割 。中国的古代数学反映了这一客观实际 ，数与形从来就是相辅相成
，并行发展的。例如勾股测量提出了开平方的要求，而开平方、开立方的方法又奠基于几何图形的考虑
。二次 、三次方程的产生 ，也大都来自几何与实际问题。至宋元时代
，由于天元概念与相当于多项式概念的引入，出现了几何代数化 。

在天文与地理中的星表与地图的绘制 ，已用数来表示地点
，不过并未发展到坐标几何的地步
。在欧洲，十四世纪奥尔斯姆的著作中已有关于经纬度与函数图形表示的萌芽。十七世纪笛卡尔提出了系统的把几何事物用代数表示的方法及其应用 。在其启迪之下 ，经莱布尼茨
、牛顿等的工作，发展成了现代形式的坐标制解析几何学
，使数与形的统一更臻完美，不仅改变了几何证题过去遵循欧几里得几何的老方法 ，还引起了导数的产生
，成为微积分学产生的根源
。这是数学史上的一件大事。

在十七世纪中，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化 ，包括量的变化与形的变换(如投影)
，还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分，使数学从此进入了一个研究变量的新时代 。

十八世纪以来 ，以解析几何与微积分这两个有力工具的创立为契机
，数学以空前的规模迅猛发展，出现了无数分支
。由于自然界的客观规律大多是以微分方程的形式表现的 ，所以微分方程的研究一开始就受到很大的重视。

微分几何基本上与微积分同时诞生
，高斯与黎曼的工作又产生了现代的微分几何 。19、20世纪之交，庞加莱创立了拓扑学 ，开辟了对连续现象进行定性与整体研究的途径
。对客观世界中随机现象的分析，产生了概率论。第二次世界大战军事上的需要
，以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学 、系统论
、控制论、数理统计学等学科 。实际问题要求具体的数值解答，产生了计算数学。选择最优途径的要求又产生了各种优化的理论 、方法
。

力学、物理学同数学的发展始终是互相影响互相促进的 ，特别是相对论与量子力学推动了微分几何与泛函分析的成长。此外在19世纪还只用到一次方程的化学和几乎与数学无缘的生物学
，都已要用到最前沿的一些数学知识 。

十九世纪后期，出现了集合论 ，还进入了一个批判性的时代
，由此推动了数理逻辑的形成与发展，也产生了把数学看作是一个整体的各种思潮和数学基础学派
。特别是1900年 ，德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上的关于当代数学重要问题的演讲
，以及三十年代开拓的，以结构概念统观数学的法国布尔巴基学派的兴起 ，对二十世纪数学的发展产生了巨大
、深远的影响
，科学的数学化一语也开始为人们所乐道。

数学的外围向自然科学、工程技术甚至社会科学中不断渗透扩大，并从中吸取营养 ，出现了一些边缘数学 。数学本身的内部需要也孽生了不少新的理论与分支
。同时其核心部分也在不断巩固提高并有时作适当调整以适应外部需要。总之，数学这棵大树茁壮成长
，既枝叶繁茂又根深蒂固 。

在数学的蓬勃发展过程中，数与形的概念不断扩大且日趋抽象化 ，以至于不再有任何原始计数与简单图形的踪影
。虽然如此
，在新的数学分支中仍有着一些对象和运算关系借助于几何术语来表示。如把函数看成是某种空间的一个点之类 。这种做法之所以行之有效，归根结底还是因为数学家们已经熟悉了那种简易的数学运算与图形关系 ，而后者又有着长期深厚的现实基础
。而且
，即使是最原始的数字如1 、2
、3、4，以及几何形象如点与直线 ，也已经是经过人们高度抽象化了的概念。因此如果把数与形作为广义的抽象概念来理解
，则前面提到的把数学作为研究数与形的科学这一定义，对于现阶段的近代数学 ，也是适用的 。

由于数学研究对象的数量关系与空间形式都来自现实世界
，因而数学尽管在形式上具有高度的抽象性，而实质上总是扎根于现实世界的。生活实践与技术需要始终是数学的真正源泉 ，反过来，数学对改造世界的实践又起着重要的 、关键性的作用
。理论上的丰富提高与应用的广泛深入在数学史上始终是相伴相生
，相互促进的。

但由于各民族各地区的客观条件不同，数学的具体发展过程是有差异的 。大体说来 ，古代中华民族以竹为筹
，以筹运算，自然地导致十进位值制的产生
。计算方法的优越有助于对实际问题的具体解决。由此发展起来的数学形成了一个以构造性
、计算性、程序化与机械化为其特色 ，以从问题出发进而解决问题为主要目标的独特体系 。而在古希腊则着重思维
，追求对宇宙的了解
。由此发展成以抽象了的数学概念与性质及其相互间的逻辑依存关系为研究对象的公理化演绎体系。

中国的数学体系在宋元时期达到高峰以后，开始陷于停顿且几至消失 。而在欧洲 ，经过文艺复兴运动 、宗教革命
、资产阶级革命等一系列的变革
，导致了工业革命与技术革命
。机器的使用，不论中外都由来已久。但在中国 ，则由于明初被帝王斥为奇技*巧而受阻抑 。

在欧洲
，则由于工商业的发展与航海的刺激而得到发展，机器使人们从繁重的体力劳动中解放出来 ，并引导到理论力学和一般的运动和变化的科学研究
。当时的数学家都积极参与了这些变革以及相应数学问题的解决，产生了积极的效果。解析几何与微积分的诞生
，成为数学发展的一个转折点 。17世纪以来数学的飞跃，大体上可以看成是这些成果的延续与发展。

20世纪出现了各种崭新的技术 ，产生了新的技术革命
，特别是电子计算机的出现，使数学又面临了一个新的时代
。这一时代的特点之一就是部分脑力劳动的逐步机械化。与17世纪以来以围绕连续、极限等概念为主导思想与方法的数学不同 ，由于计算机研制与应用的需要
，离散数学与组合数学开始受到重视 。

计算机对数学的作用已不仅仅只限于数值计算，也开始更多的涉及符号运算(包括机器证明等数学研究)
。为了与计算机更好地配合 ，数学对于构造性 、计算性
、程序化与机械化的要求也显得颇为突出。

例如
，代数几何是一门高度抽象化的数学，而最近出现的计算性代数几何与构造性代数几何的提法 ，即其端倪之一 。总之
，数学正随着新的技术革命而不断发展

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中国近代数学发展史

1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始
。 近现代数学发展时期 这一时期是从20世纪初至今的一段时间 ，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。 中国近3年留日的冯祖荀，1908年留美的郑之蕃
，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫 ，1912年留法的何鲁
，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来(1915年转留法)，1919年留日的苏步青等人 。他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家 ，为中国近现代数学发展做出重要贡献
。其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位
，成为第一位获得博士学位的中国数学家。随着留学人员的回国，各地大学的数学教育有了起色 。最初只有北京大学1912年成立时建立的数学系 ，1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系
，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学(今南京大学)和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学 、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系 ，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系
。1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部
，开始招收研究生，陈省身
、吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数学的还有江泽涵(1927)、陈省身(1934) 、华罗庚(1936)
、许宝騄(1936)等人 ，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量 。同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素(1920)
，美国的伯克霍夫(1934)、奥斯古德(1934) 、维纳(1935)，法国的阿达马(1936)等人。1935年中国数学会成立大会在上海召开 ，共有33名代表出席
。1936年《中国数学会学报》和《数学杂志》相继问世
，这些标志着中国现代数学研究的进一步发展。 解放以前的数学研究集中在纯数学领域，在国内外共发表论着600余种 。在分析学方面 ，陈建功的三角级数论
，熊庆来的亚纯函数与整函数论研究是代表作，另外还有泛函分析
、变分法、微分方程与积分方程的成果；在数论与代数方面 ，华罗庚等人的解析数论 、几何数论和代数数论以及近世代数研究取得令世人瞩目的成果；在几何与拓扑学方面
，苏步青的微分几何学，江泽涵的代数拓扑学 ，陈省身的纤维丛理论和示性类理论等研究做了开创性的工作：在概率论与数理统计方面
，许宝騄在一元和多元分析方面得到许多基本定理及严密证明
。此外，李俨和钱宝琮开创了中国数学史的研究 ，他们在古算史料的注释整理和考证分析方面做了许多奠基性的工作，使我国的民族文化遗产重放光彩。 1949年11月即成立中国科学院 。1951年3月《中国数学学报》复刊(1952年改为《数学学报》)
，1951年10月《中国数学杂志》复刊(1953年改为《数学通报》)
。1951年8月中国数学会召开建国后第一次全国代表大会，讨论了数学发展方向和各类学校数学教学改革问题。 建国后的数学研究取现代数学开始于清末民初的留学活动 。较早出国学习数学的有：190得长足进步
。50年代初期就出版了华罗庚的《堆栈素数论》(1953)
、苏步青的《射影曲线概论》(1954)、陈建功的《直角函数级数的和》(1954)和李俨的《中算史论丛》(5辑 ，1954-1955)等专着
，到1966年，共发表各种数学论文约2万余篇。除了在数论 、代数
、几何、拓扑 、函数论、概率论与数理统计
、数学史等学科继续取得新成果外 ，还在微分方程、计算技术 、运筹学
、数理逻辑与数学基础等分支有所突破
，有许多论著达到世界先进水平，同时培养和成长起一大批优秀数学家 。 60年代后期 ，中国的数学研究基本停止
，教育瘫痪、人员丧失 、对外交流中断，后经多方努力状况略有改变
。1970年《数学学报》恢复出版 ，并创刊《数学的实践与认识》。1973年陈景润在《中国科学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文
，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就 。此外中国数学家在函数论
、马尔可夫过程、概率应用 、运筹学
、优选法等方面也有一定创见。 1978年11月中国数学会召开第三次代表大会，标志着中国数学的复苏
。1978年恢复全国数学竞赛 ，1985年中国开始参加国际数学奥林匹克数学竞赛。1981年陈景润等数学家获国家自然科学奖励 。1983年国家首批授于18名中青年学者以博士学位，其中数学工作者占2/3
。1986年中国第一次派代表参加国际数学家大会
，加入国际数学联合会，吴文俊应邀作了关于中国古代数学史的45分钟演讲。近十几年来数学研究硕果累累 ，发表论文专著的数量成倍增长
，质量不断上升 。1985年庆祝中国数学会成立50周年年会上，已确定中国数学发展的长远目标
。代表们立志要不懈地努力 ，争取使中国在世界上早日成为新的数学大国。

数学在生活中的应用

一、 走进生活
，用数学眼光去观察和认识周围的事物：

世界之大，无处不有数学的重要贡献 。培养学生的数学意识以及运用数学知识解决实际问题的能力 ，既是数学教学目标之一
，又是提高学生数学素质的需要
。在教学中，要使学生接触实际 ，了解生活
，明白生活中充满了数学，数学就在你自己的身边。

例如在“比例的意义和基本性质
”的导入中 ，我设计了这样一段：你们知道在我们人体上的许多有趣的比例吗？将拳头翻滚一周，它的长度与脚底长度的比大约是1：1
，脚底长与身高长的比大约是1：7……知道这些有趣的比有很多用处，到商店买袜子 ，只要将袜子在你的拳头上绕一周
，就会知道这双袜子是否合适你穿；如果你是一个侦探，只要发现罪犯的脚印 ，就可以估计出罪犯的身高……这些都是用身体的比组成了一个个有趣的比例
，今天我们就来研究“比例的意义和基本性质”；

此外教师还可结合学生年龄特点，设计一些“调查 ”  、“体验
” 
、“操作”等实践性强的作业 ，让学生在活动中巩固所学知识
，提高各方面的能力：如教学“单价、数量 、总价 ”三者关系应用题前可布置学生做一回小小调查员，完成下列表格：

品 名 黄瓜 白菜 萝卜 猪肉

单 价（元）

数量（千克）

总 价（元）

这样做 ，使学生对所学知识有了感性认识
，减缓他们在学习上坡度，对他们深刻理解单价、数量
、总价三者之间的关系有很大帮助 。再如学习了三角形的稳定性后 ，可让学生观察生活中哪些地方运用了三角形的稳定性；学习了圆的知识后，让学生从数学的角度说明为什么车轮的形状是圆的
，三角形的行不行？还可以让学生想办法找出锅盖、脸盆的圆心在哪儿；……这样大大丰富了学生所学的知识，让学生真正认识到周围处处有数学 ，数学就在我们生活中间
，并不神秘，同时也在不知不觉中感悟数学的真谛 ，进而激起从小爱数学 、学数学
、用数学的情感
，促进学生的思维向科学的思维方式发展，培养学生自觉地把所学的知识应用于实际生活的意识
。

二、 感悟生活 ，架构数学与生活的桥梁：

“人人学有用的数学
，有用的数学应当为人人所学”成了数学教学改革实验的口号。教学中我联系生活实际，拉近学生与数学知识之间的距离 ，用具体生动 、形象可感的生活事例解释数学问题 。

1
、 运用生活经验解决数学问题

在上“用字母表示数
”一课的内容时
，我用CAI课件演示李蕾同学拾金不昧的情景，紧接着播出一则“失物招领启事”：

失 物 招 领

李蕾同学在校园升旗台附近拾到人民币A元 ，请失主前来少先队大队部认领。

校少先队大队部

2002.3

学生惊奇于数学课上老师怎么讲起了失物招领的事呢？我和学生通过分析、讨论A元所表示的意义，

师：A元可以是1元钱吗？ 生1：A元可以是1元钱
，表示拾到1元钱
。

师：A元可以是5元钱吗？ 生2：可以！表示拾到5元钱。

师：A元还可以是多少钱呢？生3：还可以是85元，表示拾到85元钱 。

师：A元还可以是多少钱呢？生4：还可以是0.5元 ，表示拾到5角钱
。……

师：那么A元可以是0元吗？生5：绝对不可以
，如果是0元，那么这个失物招领启事就和大家开了一个大玩笑！

师：为什么不直接说出拾到多少元 ，而用A元表示呢？……

由于学生容易认识具体 、确定的对象
，而用字母表示的数是不确定的
、可变的，因此开始学习学生往往难以理解。本题中的“失物招领启事 ”是学生所熟悉的活动 ，激发了学生学习新知的欲望
，学生便能不由自主地参与到解题过程中去 。在讨论交流中，集思广益 ，使学生在愉快的氛围理解了新知
，并对所学的知识更理解，掌握地更牢固；另一方面也提高了人际交往能力 ，增强了相互帮助、合作的意识，受到良好的思想教育
，也锻炼了学生对社会的洞察力
。

2 、 运用数学知识解决实际问题

例如学习了长方形
、正方形面积的计算及组合图形的计算后，我尝试着让学生运用所学知识解决生活中的实际问题。如：老师家有一间两室一厅的住房 ，如图：你能帮帮他算一算这两室一厅的住的面积有多大？要计算面积有多大我们先要测量哪些长度的面积？在给出一定的数据后让学生们计算；接下来我还让学生们回家测算一下自己家的实际居住面积 。在这样一个实际测算的过程中
，既提高了兴趣，又培养了实际测量、计算的能力 ，让学生在生活中学 、在生活中用
。

如
，学过了100以内加减法之后，创设了“买汽车
”的教学情境：微型汽车大削价 ，小林花去100元买了几辆汽车
，他买了几辆汽车，是哪几辆？

通过观察、思考
、讨论 ，在我的鼓励指导下
，同学们用式子有序地依次表示为：

（1）把100元分解为两个数的和： （2）把100元分解为3个数的和：

50+50=100 40+60=100 30+70=10020+80=100 60+20+20=10050+20+30=10040+40+20=10030+30+40=100

（3）把100元分解为4个数的和 （4）把100元分解为5个数的和 40+20+20+20=100

20+20+20+20+20=100 30+30+20+20=100

学生以发现者的心态去探索、去求新 、去寻觅独创性的答案，这也正验证了苏霍姆林斯基所说的：“在人的心灵深处 ，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者
、研究者、探索者。”这种图文并茂的应用题
，使学生感到不是在解应用题，而是在解生活中的问题 ，锻炼了学生捕捉信息的能力
，增强了应用题的应用味：漫画的形式更贴近于儿童的实际生活，学生从图中获得各种汽车价钱的信息 ，又从文字中获取“小林花去100元 ”的信息
，由于问题具有现实意义，但又不能刻板地归为哪一种类型 ，要想解决“买了几辆汽车
，是哪几辆？
”的问题，联系生活实际 ，就能得到不同的解法 。整个学习活动给学生提供了广阔的思维空间
，让学生经历观察 、分析
、概括和归纳等学习过程
。不仅巩固了100以内认识和加法，而且促进数学的交流 ，学生的分析、解决问题的能力得到培养，有利于因材施教
，体现不同的人学习不同层次的数学，使学生感受到数学与生活的密切联系 ，体验到生活中处处有数学
，感受数学的趣味与作用。

三 、创造生活，解决生活中的数学问题

两步应用题之后的教学 ，我让学生“创作”应用题
，学生们积极思考，发挥自己的想象力：“一份鸡翅8元 ，一个汉堡包比它贵4元
，我吃了一份鸡翅和一个汉堡包，你们说我用了多少元？ ”；“我的妈妈上午买了一斤青菜 ，买的萝卜是青菜的两倍
，请问我的妈妈一共买了几斤菜？；《西游记》有62集，《西游记续集》比它多5集 ，《西游记续集》有多少集？
”学生们编应用题时眉飞色舞的神态，夸张的动作
，幽默风趣的语言常常引起哄堂大笑 。由于题材来自学生所熟知的事物，学生发言积极
、语言流畅 ，思维呈多极化和多元化
，得出“雪融化后是春天而不是水”的新思路，因创造而倍感兴奋 ，更体会到生活中处处有数学。

再如学习了“按比例分配 ” 的知识后
，让学生帮助爸爸妈妈算一算本住宅楼每户应付的水费（电费）是多少；学习了“利息
”的知识后，算一算自己在银行存储的钱到期后可以拿多少本息；再如学习完“比例尺”一节的知识后 ，让学生绘制 “我给未来的校园设计平面图 ”、“我给生活小区设计平面图”等等
，其对图表内容的丰富和社会关注程度令人感叹！

生活是教育的中心，“生活即教育
”的理论为小学数学教学的改革开辟了广袤的原野
。“让学生在生活中学数学” 使学生对数学有一种亲近感 ，感到数学与生活同在
，增强了学生学习数学的主动性，发展了求异思维 ，培养了学生理论联系实际的学风和勇于探究 、大胆创新
、不断进取的精神，让学生亲自体会参与应用所学知识去解决实际问题的乐趣。

世界近代三大数学难题之一四色猜想 四色猜想的提出来自英国 。1852年
，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来 ，每幅地图都可以用四种颜色着色
，使得有共同边界的国家着上不同的颜色
。 ”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展 。 1852年10月23日 ，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根
，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友 、著名数学家哈密尔顿爵士请教
。哈密尔顿接到摩尔根的信后 ，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止
，问题也没有能够解决 。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题 ，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题
。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 。1878～1880年两年间
，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理 ，大家都认为四色猜想从此也就解决了 。 11年后，即1890年
，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的
。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来 ，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁
，但一无所获 。于是，人们开始认识到 ，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力
，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行
。1913年 ，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧
，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国 。1960年 ，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国
。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后
，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现 ，大大加快了对四色猜想证明的进程 。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上
，用了1200个小时，作了100亿判断 ，终于完成了四色定理的证明
。四色猜想的计算机证明
，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点 。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就 ，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法
。 -------- 世界近代三大数学难题之一 费马最后定理 被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有 关数学难题得以解决的消息
，那则消息的标题是「在陈年数学困局中，终於有人呼叫『 我找到了』」。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的 男人照片 。这个古意盎然的男人 ，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马 小传请参考附录）
。费马是十七世纪最卓越的数学家之一
，他在数学许多领域中都有极 大的贡献，因为他的本行是专业的律师 ，为了表彰他的数学造诣
，世人冠以「业余王子 」之美称，在三百六十多年前的某一天 ，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的 数学书时，突然心血来潮在书页的空白处
，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内 容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定 理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2 ，此处z表一直角形之斜边而x
、y为其之 两股
，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有 整数解（其实有很多） ，例如：x=3、y=4 、z=5；x=6
、y=8、z=10；x=5 、y=12
、z=13… 等等。 费马声称当n>2时
，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法 找到整数解 。 当时费马并没有说明原因 ，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙 法
，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百 多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功
。这个号称世纪难题的费马最 后定理也就成了数学界的心头大患 ，极欲解之而后快。 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和 三百法郎给任何解决此一难题的人
，可惜都没有人能够领到奖赏 。德国的数学家佛尔夫 斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人 ， 有效期间为100年
。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克
，虽然 如此仍然吸引不少的「数学痴」。 二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的 ，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确 的（注286243-1为一天文数字
，大约为25960位数） 。 虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明
。不过这个三百多年的数学悬案终於解 决了 ，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是 利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明 。 五0年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想
，后来由另一位数学家志 村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联
。在八0年代德 国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起 ，而威利斯所做的正是根据这个关联 论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的
，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论 由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报 告马上震惊整个数学界 ，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注 。不过威利斯的 证明马上被检验出有少许的瑕疵
，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以 修正
。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6 月 ，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖 。当年的十万法克约为两百万美金 ，不过威利斯领到时
，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史 ，永垂不朽了。 要证明费马最后定理是正确的 （即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解） 只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)
，都没有整数解
。 ---------------- 世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家 ，生于1690年
，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现 ，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和 。如6＝3＋3
，12＝5＋7等等
。 1742年6月7日，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉 ，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说
，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明 。叙述如此简单的问题 ，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意
。他们对一个个偶数开始进行验算
，一直算到3．3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目 ，猜想也应是对的
，然而不能作出证明 。欧拉一直到死也没有对此作出证明
。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了 ，没有人证明它 。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠
”
。到了20世纪20年代
，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99) 。这种缩小包围圈的办法很管用 ，科学家们于是从(9十9)开始
，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止 ，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年
，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年 ，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年
，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年 ，我国数学家王元证明了(2十3)
。随后
，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研 ，终于在前人研究的基础上取得重大的突破
，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了 。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上 ，这一成果受到国际数学界的重视
，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理 ”
。1996年3月下旬 ，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠
，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……
”在他身后 ，将会有更多的人去攀登这座高峰。