数学社团的一些思考

随笔杂记，看情况持续更新……

1
、应学校要求 ，开设数学社团课
，要求不仅仅局限于当下所学内容，而是以更高的维度审视数学及相关学科的内在关联与核心思想；

2、思来想去 ，最后选择了《逻辑学》
。因为数学乃至其他科学中
，大量的知识都与此紧密相关，比如：定义与分类 ，什么是命题（真假命题 、逆命题
、否命题…）
，推理与论证（初中几何推导，演绎推理、归纳推理…） ，证实与证伪
，公理化体系，反证法 ，以及高中的集合与逻辑用语等等；

3 、还有一个原因是基于实际教学经验，对于一些思维较弱的学生
，在初学几何证明时，遭遇到了非常大的认知冲突：什么是“证明
”？为什么要“证明”？如何才能算“证明 ”？这些非常陌生的内容 ，强行进入的结果就是巨大的不适应。

4
、为了增加趣味性
，我在课上大量引用了非数学案例，结果很受学生欢迎 ，并且随着课程的进行
，发现内容可以更丰富一些，与数学学科 ，主要是思维方面的联系更紧密
，自然也会更有意义 。再后来，还可以跟学生们讨论应该如何更有效地学习……总之 ，越发觉得这门课的意义
，细细打磨，完全可以做成一个小初衔接的课程
。

1、初中以后 ，学生逐步进入形式运算阶段，已具备一般科学意义上的思维方式的基础；

2 、与此生理特点相配套的是
，初中数学的设置相比小学高度形式化
、抽象化，这对学生也提出了更高的要求。

3、都说初中比小学难在知识 ，其实是难在思维方式的转变
，这才是许多学生跟不上节奏的更深层次原因 。

4 、尽管说初中学生已经进入形式运算阶段，但这只能算是理论基础 ，由理论到实际
，还需要一个逐步转变的过程，而且学生个体间存在差异性；

5
、再对比初中与高中 ，在思维方式上反而没有太多的区别
，高中的绝大多数数学思想，其实已经在初中有所体现 ，最大的区别就是知识的难度了
。

6、初中知识毕竟还不是太多
，靠死记 、机械训练，多半还可以应付 ，但如果不掌握正确的学科核心素养，到了高中
，弊端就会显露无疑。

7、总之，小初衔接 ，尤其是思维方式的转化
，是个值得老师思考的大问题 。

1
、说了那么多，到底该怎么办呢？既然是思维问题 ，最原滋原味的思维逻辑
，除了基础的“逻辑哲学
”还能有谁呢？当然了，“逻辑哲学”涵盖甚广 ，还是要聚焦到数学（哲学）及科学（哲学）上来——此为内容核心；

2、既然是帮助学生转变思维
，就要以学生现有状态为基础，基于学生发展学生
。结合学生认知心理学 ，将这些形式化的逻辑系统
，以学生能够接受的方式带给学生。先从实例引入，尽量少强调概念 。——此为引导方式
。

1.1? 逻辑缘起：语言是引起误会的根源——人类思维与语言的不完美——逻辑源于人类理智的自我反省；

（1）引例：生活中常见的悖论——说谎者悖论；

通过一个简单的例子 ，引出“悖论 ”的概念：表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论。不过多的展开，只是让学生有一个大致了解 。

一开始
，学生肯定会很好奇，去尝试着思考其中的缘由 ，可适当给一点时间。

后续还有更加有意思的“悖论
”
。

（2）芝诺悖论——等比数列求和
，简单解释；

这个问题中，并不会永远下去 ，按照论述中的说法
，其实是一个等比数列，其和存在极限值。具体的计算学生尚不能理解 ，但大致思想可以接受 。公布结果后
，学生的反应会非常激动，原来数学这么厉害
。

（3）半费之讼。

……

目标： 通过一些有趣的案例 ，引导学生得到这样一个认识： 我们赖以交流的语言
，其实是不完善的，很多时候 ，误会恰恰就因为语言而产生 。

首先需要明确，以上出现的问题
，并非语法上的错误，那么 ，我们该怎么办呢？——为了正确地使用语言和思维
，为了使理性的交流能够顺利进行，人们是否应当遵守某些一般的原则 、假定或者规律？

引出后续内容： 同一律
、矛盾律、排中律
。

1.2? 同一律：你们说的是一回事吗？

（1）引例——数学中的问题。

（2）稻草人谬误；

（3）违反同一律的几种可能——承前启后 ， 引向概念 ；

（4） 数学案例——什么是“点”？——引向概念不明 、定义的意义 ；

（5）生活中的概念不明 。

其实
，生活中的“概念不明 ”与数学关系不大，从这个角度看 ，完全可以不用提
，之所以要提到这点，是想给学生做一些拓展 ，毕竟教育是整全的
。

1.3? 矛盾律：我与你不共戴天！

（1）引例：矛与盾的故事；

（2）案例：上帝是万能的吗？

（3）玻璃到底是谁打碎的——它们真的矛盾吗？

（4） 何为矛盾？矛盾一定是贬义吗？数学中的“矛盾
”？二元
、三元、四元等对立
，韦恩图 ；

（5） 分数与整数的关系—— 互斥与分类

1.4? 排中律：拒绝两面派

（1）引例：直接给出；

（2） 反证法 ——同一平面内，过直线外一点 ，可以做多少条直线与已知直线垂直？

（3） 排除法 ——面积为2的正方形，你的边长到底是多少？

有理数的分类。

1.5 这些逻辑有道理吗？

（1）引例——不投诉等不等于喜欢？

（2） 一一对应产生的矛盾——无限多——看似“矛盾”的现象
，其实是人类认知上的局限；

（3）高学历等不等于高能力？为什么大公司都喜欢招名校毕业生？

（4）生活与数学中的逻辑，合 情 合理

（5）……

2.1 什么是“推理与证明 ”？——第二讲大浪漫

（1）引例：基督教竟然允许讨论上帝的存在？！

（2）什么是推理？什么是证明？二者一样吗？

后续大致内容 ，可以与数学联系更紧密些……

（1）什么是命题？如何判断真假？

（2）傻子才会那么做——三段论与命题
，条件与结论，原命题与逆命题；

（3）公理与定理；

（4）公理化体系；

（5）演绎推理与归纳推理；

（6）证实与证伪 ，数学哲学与科学哲学；

（7）……

1 、《逻辑是什么？》《逻辑学十五讲》；

2
、《科学哲学十讲》《科技哲学十五讲》；

3、《基本概念与运算法则》《数学基本思想18讲》《数学思想概率》 、各种数学史书籍；

4
、《儿童心理学》《教育的目的》

5、其他

这种社团名称有数学之友 、数学探索社、数学精英社 。

1
、数学之友：这个名称强调社团的目标是为了让会员们成为数学领域的朋友和伙伴
，共同探索数学知识、分享数学思维，并在互相支持和学习的氛围中提高数学能力
。

2 、数学探索社：这个名称表明社团致力于探索数学的新领域和挑战 ，以培养会员们的创新思维和问题解决能力。社团可能组织解决问题的研讨会
、竞赛参与等活动 。

3、数学精英社：这个名称暗示社团是为那些在数学领域具有出色才能和成就的学生而设立的。社团可能提供高级数学课程 、竞赛培训和研究项目等机会
，以满足会员们对于更深入学习和挑战的需求
。